درس ریاضی - سایت درسی

سایت درسی

اعمال روی توابع (جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

فهرست مطالب آموزش حسابان

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند، اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: اعمال روی توابع

(جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

تعاریف اصلی:

همانند اعداد، می توان دو تابع حقیقی را با هم جمع، از هم کم، در هم ضرب و بر هم تقسیم کرد و باز هم یک تابع حقیقی به دست آورد. بسیاری از توابع پیشرفته، به همین صورت به دست می آیند. دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{cases} f:D_f\to \mathbb{R} & \\ y=f(x) \end{cases} \,\,\,\begin{cases} g:D_g\to \mathbb{R} & \\ y=g(x) \end{cases}$

تعریف جمع و تفاضل و ضرب دو تابع f و g:

$\begin{cases} f+g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{cases} \begin{cases} f-g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \end{cases}$

$\begin{cases} fg:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (fg)(x)=f(x)g(x) \end{cases}$ ؛

بنابراین

$D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی های بالا را توضیح دهید.

تعریف تقسیم دو تابع حقیقی:

$\begin{cases} \frac{f}{g}:D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}\to \mathbb{R} & \\ \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{cases}$ ؛

بنابر این

$D_\frac{f}{g}=D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی بالا را توضیح دهید.

چند مثال:

  اگر $f(x)=\frac{1}{x-1}$ و $g(x)=x^2-1$ ، آن گاه دامنه و ضابطه های توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ و $\frac{f}{g}$ را به دست آورید.

حل مساله:

چون $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$ و $D_g=\mathbb{R}$ ، بنابر این

                        $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}-\{1\}$

و

                         $D_\frac{f}{g}=(\mathbb{R}-\{1\})-\{1,-1\}=\mathbb{R}-\{1,-1\}$
و
$\begin{align*} (f+g)(x) &= f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}+x^2-1\\ (f-g)(x) &= f(x)-g(x)=\frac{1}{x-1}-x^2+1\\ (fg)(x) &= f(x)g(x)=\frac{1}{x-1}(x^2-1)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\,\,(x\neq 1)\\ \frac{f}{g}(x)&= \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{x-1}}{x^2-1}=\frac{1}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)^2} \end{align*}$
فرض کنید

$f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},\,\,g(x)=\sqrt{x^2-1}$

بنابر این $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\{-1\}$ ؛ یعنی توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ فقط می توانند روی عدد 1- اثر کنند؛ نیز می توان دید که

$D_\frac{f}{g}=\varnothing$ ؛
یعنی تابع $\frac{f}{g}$ ، تابع حقیقی بی معنایی است.

درس ریاضی

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

تستهای حسابان

توضیح:

از تستهای حسابان، مباحث حد و پیوستگی و مشتق و انتگرال حذف شده اند. انشاء الله آنها را در بخش حساب دیفرانسیل و انتگرال خواهیم آورد.

موفق باشید.

1) (سال 61 و سال 65) چند جمله ای (f(x را یک بار بر x+1 و بار دیگر بر x-1 تقسیم کرده ایم. باقی مانده ها به ترتیب 1 و 3 شده اند. باقیمانده ی تقسیم (f(x بر $x^2-1$ چیست؟

گزینه ها:

$(1)\ x+3\quad \quad (2)\ x+2\quad \quad (3)\,\,2x+2\quad \quad (4)\ 2x+3$

2) (سال 62) در صورتی که برد تابع f، فاصله ی $(-\infty ,-1)$ و تابع g بر روی $(-\infty ,-1)$ با $g(x)=\frac{f(x)-1}{f(x)+1}$ تعریف شده باشد، آن گاه برد g کدام فاصله است؟

گزینه ها:

$(1)\ (-\infty ,1]\quad \quad (2)\ (-\infty ,1)\quad \quad (3)\,\,(1,+\infty )\quad \quad (4)\ [1,+\infty )$

3) (سال 67) برد تابع زیر کدام است؟

$f(x)=\left\{ \begin{align}& \frac{x}{[x]}\quad x<0 \\& 0\quad \ \ \ x\ge 0 \\ \end{align} \right.$

گزینه ها:

$(1)\ (-\infty ,0]\quad \quad (2)\ [0,1]\quad \quad (3)\,\,[0,1)\quad \quad (4)\ [0,+\infty )$

4) (سال 70) اگر باقی مانده ی عبارت $2x^{4}+mx+2$ بر x+1 برابر با 2 باشد، باقی مانده ی آن بر x-1 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -4\quad \quad (2)\ -6\quad \quad (3)\,\,4\quad \quad (4)\ 6$

5) (سال 70) چند جمله ای $f(x)=(x-3)^{2m}+(x-2)^{2n}-1$ بر کدام عبارت زیر بخش پذیر است؟

گزینه ها:

1) فقط بر x-3
2) فقط بر x-2
3) بر حاصل ضرب x-2 و x-3
4) هیچ کدام

6) (سال 72) اگر خارج قسمت تقسیم $5x^{3}-14x+3$ بر x-2 یک چندجمله ای باشد، مقدار آن به ازای x=-2 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -9\quad \quad (2)\ -4\quad \quad (3)\,\,6\quad \quad (4)\ 12$

7) (سال 73) عبارت $a^{12}+1$ بر کدام عبارت زیر همواره بخش پذیر است؟

گزینه ها:

$(1)\ a^2+1\quad \quad (2)\ a^3+1\quad \quad (3)\,\,a^4+1\quad \quad (4)\ a^6+1$

8) (سال 75) کدام شکل، نمودار یک تابع است؟

گزینه ها:

9) (سال 75) برد تابع f با ضابطه ی زیر کدام است؟

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-[x]}}$

گزینه ها:

$(1)\ (-\infty ,0)\quad \quad (2)\ (-\infty ,1)\quad \quad (3)\,\,[0,+\infty )\quad \quad (4)\ (1,+\infty )$

10) (سال 75) اگر توابع f و g به ترتیب 2x+1 و x-1 باشند، ضابطه ی تعریف تابع $fog^{-1}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 2x+1\quad \quad (2)\ 2x+2\quad \quad (3)\,\,2x+3\quad \quad (4)\ 2x+4$

11) (سال 75) به ازای کدام مقادیر a، عبارت $ax^2+2x+4a$ همواره نامنفی است؟

گزینه ها:

$(1)\ a\ge \frac{1}{2}\quad \quad (2)\ a\le -\frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,0\le a\le \frac{1}{2}\quad \quad (4)\ -\frac{1}{2}\le a\le \frac{1}{2}$

12) (سال 75) تعداد جوابهای معادله ی زیر کدام است؟

$\frac{x-2}{x+2}+\frac{x}{x-2}=\frac{8}{x^{2}-4}$

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ 1\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

13) (سال 75) اگر عبارت $x^6+ax^3+bx^4+1$ بر عبارت $x^2-1$ بخش پذیر باشد، حاصل a-2b کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 1\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,3\quad \quad (4)\ 4$

14) (سال 75) باقی مانده ی تقسیم عبارت $x^4+ax^3+bx^2+1$ بر عبارت $x^2-1$ صفر است. b کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ -2\quad \quad (3)\,\,0\quad \quad (4)\ 3$

15) (سال 76) کدام تابع یک به یک است؟

گزینه ها:

$(1)\ y=|x|\quad \quad (2)\ y=x^{2}\quad \quad (3)\,y=\,\left\{ \begin{align}& x\quad \,\,\,x>0 \\& x^{2}\quad x\le 0 \\ \end{align} \right.\quad \quad (4)\ y=\left\{ \begin{align}& -x\quad x>0 \\& x^{2}\,\quad x\le 0 \\ \end{align} \right$

16) (سال 76) نمودار تابع زوج نسبت به .......... تقارن دارد.

گزینه ها:

1) محور x ها
2) محور y ها
3) نیم ساز ناحیه ی اول و سوم
4) نیم ساز ناحیه ی دوم و چهارم

17) (سال 76) حاصل ضرب دو عدد طبیعی متوالی از 5 برابر عدد کوچک تر، 32 واحد بیش تر است. مجموع آن دو عدد کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 21\quad \quad (2)\ 19\quad \quad (3)\,\,17\quad \quad (4)\ 15$

18) (سال 76) طول اضلاع مثلث قائم الزاویه ای 2x+1 و 2x-1 و x است که x عددی بزرگ تر از 1 است. طول ضلع متوسط کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 13\quad \quad (2)\ 15\quad \quad (3)\,\,17\quad \quad (4)\ 19$

19) (سال 77) برد تابع با ضابطه ی $y=sqrt{1-x^2}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \mathbb{R}\quad \quad (2)\ \mathbb{R}^{+}\quad \quad (3)\,\,[0,1]\quad \quad (4)\ [-1,1]$

20) (سال 77) برد تابع f با ضابطه ی $f(x)=\frac{1+x^2}{2x}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ [-1,1]\quad \quad (2)\ (-1,1)\quad \quad (3)\,\,\mathbb{R}-(-1,1)\quad \quad (4)\ \mathbb{R}-[-1,1]$

21) (سال 77) اگر (y=f(x یک تابع خطی گذرنده از $(0,a)$ و $(a,0)$ باشد (a عددی ناصفر است)، ضابطه ی (fof(x کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 0\quad \quad (2)\ x\quad \quad (3)\,\,f(x)\quad \quad (4)\ x+2a$

22) (سال 78) اگر تابع زیر، یک به یک باشد، a کدام است؟

$\{(-2,2),(m,3),(-1,3),(2m,a)\}$

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

23) (سال 78) فرض کنید توابع f و g با ضابطه های زیر باشند:

$f(x)=x^2+(A-1)x,\,\,\,g(x)=(B+2)x^2+sin(x)$

اگر f زوج و g فرد باشد، A+B کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -2\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

24) (سال 78) به ازای کدام مقدار m، معادله ی درجه دوم زیر، دو ریشه ی حقیقی و معکوس هم دارد؟

$mx^2+5x+m^2-6=0.$

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ -2\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

25) (سال 79) دو تابع زیر را در نظر بگیرید. برد gof کدام است؟

$f(x)=\sqrt{x},\,\,\,g(x)=\frac{2-x}{1+x}$

گزینه ها:

$(1)\ (-1,2]\quad \quad (2)\ [-1,1]\quad \quad (3)\,\,[0,+\infty)\quad \quad (4) [2,+\infty)$

26) (سال 79) تابع معکوس پذیر f بر روی تمام اعداد حقیقی تعریف شده است. تابع با ضابطه زیر چگونه است؟

$f(-x)+f(x)$

گزینه ها:

1) متناوب
2) معکوس ناپذیر
3) یکنوا
4) یک به یک

27) (سال 79) به ازای کدام مقدار m، در معادله ی درجه ی دوم زیر، یکی از ریشه ها دو برابر ریشه ی دیگر است؟

$(m+1)x^2+3x+m=0$

گزینه ها:

$(1)\ 3,-2\quad \quad (2)\ -3,2\quad \quad (3)\,\,-1,2\quad \quad (4)\ 1,-2$

28) (سال 80)دوره ی تناوب اصلی تابع زیر کدام است؟

$f(x)=\left\{ \begin{align}& \sin ^{2}(\frac{\pi }{2}x)\quad x\in \mathbb{Q} \\& 0\quad \quad \quad\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\ x\notin \mathbb{Q} \\ \end{align} \right.$

گزینه ها:

$(1)\ 2\pi\quad \quad (2)\ 2\quad \quad (3)\,\,4\pi\quad \quad (4)\ 4$

29) (سال 80) باقی مانده ی تقسیم عبارت زیر، بر x+1 برابر 4 است. a کدام است؟

$x^4-ax^3+x^2+2ax+1$

گزینه ها:

$(1)\ -4\quad \quad (2)\ -1\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 4$

30) (سال 81) به ازای کدام مقدار a، تابع زیر، زوج است؟

$f(x)=|x+2|+a|x-2|$

گزینه ها:

$(1)\ -1\quad \quad (2)\ 0\quad \quad (3)\,\,1\quad \quad (4)\ 2$

31) (سال 81) اگر $g(x)=x^2,\,\,\,f(x)=1+\sqrt{x}$ و x عددی مثبت باشد، آن گاه ضابطه ی $g^{-1}of^{-1}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ x-1\quad \quad (2)\ x+1\quad \quad (3)\,\,x^2-1\quad \quad (4)\ x^2+1$

32) (سال 82) با توجه به ماشین زیر، اگر $f(x)=2x-1$ آن گاه (g(0 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 1\quad \quad (2)\ 0\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}\quad \quad (4)\ 2$

33) (سال 82) تابع فرد f معکوس پذیر است. نمودار تابع $f^{-1}$ نسبت به کدام مورد متقارن است؟

گزینه ها:

1) مبدأ مختصات
2) محور x ها
3) محور y ها
4) نیم ساز ناحیه ی اول و سوم

34) (سال 82) در معادله ی زیر، یکی از ریشه ها دو واحد از ریشه ی دیگر بیش تر است. m کدام است؟

$3x^2-15x+m=0$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{59}{5}\quad \quad (2)\ \frac{63}{5}\quad \quad (3)\,\,\frac{59}{4}\quad \quad (4)\ \frac{63}{4}$

35) (سال 82) حاصل عبارت زیر، به ازای $x=\sqrt{2}$ کدام است؟

$(1+x+x^2+\cdots +x^8)(1-x+x^2-\cdots +x^8)$

گزینه ها:

$(1)\ 507\quad \quad (2)\ 511\quad \quad (3)\,\, 512\quad \quad (4)\ 516$

36) (سال 83) اگر $f(x)=x+\sqrt{x^2+1}$ ضابطه ی $f^{-1}(x)$ به طور دقیق برابر کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x});\ x\in \mathbb{R}\quad \quad (2)\ \frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x);\ x\in \mathbb{R}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x});\ x>0\quad \quad (4)\ \frac{1}{2}(\frac{1}{x}-x);\ x>0$

37) (سال 83) اگر $f(x)=x^2-1$ نمودار $y=fof(x)$ با محور x ها کدام وضعیت را دارد؟

گزینه ها:

1) یک نقطه ی تلاقی-دو نقطه ی تماس
2) دو نقطه ی تلاقی-یک نقطه ی تماس
3) سه نقطه ی تلاقی-فاقد نقطه ی تماس
4) فاقد نقطه ی تلاقی-دو نقطه ی تماس

38) (سال 84) به ازای کدام مقدار m، عدد $\frac{1}{8}$ واسطه ی عددی بین دو ریشه ی حقیقی معادله ی زیر است؟

$(m^2-4)x^2-3x+m=0$

گزینه ها:

$(1)\ 3\quad \quad (2)\ -3\quad \quad (3)\,\, 4\quad \quad (4)\ -4$

درس ریاضی

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

تستهای تصاعد

1) (سال 73) در یک تصاعد هندسی $S_{6}=\frac{19}{27}S_{3}$ .قدر نسبت کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -\frac{4}{3}\quad \quad (2)\ -\frac{2}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{3}\quad \quad (4)\ \frac{3}{4}$

2) (سال 75) در یک تصاعد هندسی نزولی نامحدود، جمله ی اول برابر با نصف مجموع جملات بعدی است. جمله ی اول چند برابر جمله ی سوم است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{9}{4}\quad \quad (2)\ \frac{3}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{9}{2}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

ادامه مطلب...

درس ریاضی

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

تستهای لگاریتم

1) (سال 75) از تساوی زیر مقدار x کدام است؟

$\log _{9}(x-4)=1-\log _{3}2$

گزینه ها:

$(1)\ 6.25\quad \quad (2)\ 6.5\quad \quad (3)\,\,6.75\quad \quad (4)\ 7.5$

2) (سال 77) با فرض log2=a ، مقدار log1.25 کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 1-3a\quad \quad (2)\ 2-3a\quad \quad (3)\,\,3a-1\quad \quad (4)\ 3a-2$

3) (سال 77) اگر $\log _{x}\sqrt{7}=-\frac{1}{2}$ آن گاه $\log _{2}(1+\frac{1}{x})$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ -3\quad \quad (2)\ -2\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ 3$

4) (سال 78) حاصل $\log _{8}(\frac{\sqrt{2}}{4})$ برابر است با:

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-3}{2}\quad \quad (2)\ \frac{-3}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{-1}{4}\quad \quad (4)\ -\frac{1}{2}$

5) (سال 78) لگاریتم عددی در مبنای a برابر b است. لگاریتم این عدد در کدام مبنا برابر یک سوم b است؟

گزینه ها:

$(1)\ a^{3}\quad \quad (2)\ 3a\quad \quad (3)\,\,\sqrt[3]{a}\quad \quad (4)\ \frac{a}{3}$

6) (سال 79) لگاریتم عددی در پایه ی 9 از لگاریتم عکس مربع آن عدد در پایه ی 9 به اندازه ی 4.5 واحد بیش تر است. آن عدد کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 81\quad \quad (2)\ 36\quad \quad (3)\,\,27\quad \quad (4)\ 18$

7) (سال 81) اگر $\log _{2}(\sqrt[5]{e^{2}})=A$ حاصل $\log _{\sqrt{e}}(32)$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ \frac{A}{4}\quad \quad (2)\ \frac{A}{2}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{A}\quad \quad (4)\ \frac{4}{A}$

8) (سال 82) حاصل $\log _{5}(\sqrt{125})^{3}$ کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ 4\quad \quad (2)\ 4.5\quad \quad (3)\,\,5\quad \quad (4)\ 5.5$

9) (سال 84) از معادله ی زیر مقدار $\log _{8}x$ کدام است؟

$\log (2x-1)+\log (x+3)=\log 30-\log 2$

گزینه ها:

$(1)\ -\frac{1}{2}\quad \quad (2)\ \frac{1}{3}\quad \quad (3)\,\,\frac{2}{3}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$
درس ریاضی

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

تستهای مثلثات

1) (سال 70) حاصل عبارت زیر چند است؟

$Arc\tan (\frac{1}{3}) + Arc\tan (\frac{1}{2})$

گزینه ها:

$(1)\;\frac{\pi }{2}\quad \quad (2)\;\,\frac{\pi }{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{{3\pi }}{4}\quad \quad (4)\;\frac{{5\pi }}{4}$

2) (سال 71) مقدار عبارت زیر کدام است؟

$2\cos (2Arc\tan ( - \sqrt 3 )) + \sqrt 3 \tan (\frac{1}{2}Arc\cos ( - \frac{1}{2}))$

گزینه ها:

$(1)\;2\quad \quad (2)\;\,4\quad \quad (3)\,\, - 2\quad \quad (4)\; - 4$

3) (سال 75) اگر تساوی زیر برقرار باشد، آلفا را بیابید.

$\tan (\frac{{3\pi }}{2} - x) = \cot (\alpha+ x)$

گزینه ها:

$(1)\;\frac{{ - \pi }}{2}\quad \quad (2)\;\,\frac{\pi }{2}\quad \quad (3)\,\,\pi \quad \quad (4)\;\frac{{3\pi }}{2}$

4) (سال 75) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\frac{{\sin (10x) - \sin (6x)}}{{\cos (10x) + \cos (6x)}}$

گزینه ها:

$(1)\;\tan (2x)\quad \quad (2)\;\,\cot (2x)\quad \quad (3)\,\,\tan (4x)\quad \quad (4)\;\cot (4x)$

5) (سال 75)جواب کلی معادله ی زیر کدام است؟

$\cos (3x)\cos (x) = \cos ^2 x$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{2}\quad \quad (2)\ \,k\pi \quad \quad (3)\,k\pi +\frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\ 2k\pi \pm \frac{\pi }{2}$

6) (سال 75) نقاط پایانی جوابهای معادله ی زیر بر روی دایره ی مثلثاتی، راس های کدام چند ضلعی است؟

$(1+\sqrt{3})\sin ^{2}(x)+(1-\sqrt{3})\sin (x)\cos (x)=\sqrt{3}$

گزینه ها:

(1) مربع (2) مستطیل (3) چهار ضلعی غیر مشخص (4) ذوزنقه

7) (سال 76) اگر تساوی های زیر برقرار باشد، مقدار tan 2b چیست؟

$\tan (a+b)=5,\ \tan (a-b)=2$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{7}{3}\quad \quad (2)\ \,\frac{-2}{7}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{11}\quad \quad (4)\ \frac{2}{7}$

8) (سال 76) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\sqrt{2}\left( \sin (x+\frac{\pi }{4})+\cos (x+\frac{\pi }{4}) \right)$

گزینه ها:

$(1)\ 2\cos (x)\quad \quad (2)\ \,2\sin (x)\quad \quad (3)\,\,\sin (x)\quad \quad (4)\ \cos (x)$

9) (سال 77) فرض کنید:

$\frac{3\pi }{4}<\alpha <\pi ,\ \tan (\alpha )=\frac{2}{m-1}$

حدود تغییرات m کدام است؟

گزینه ها:

$(1)\ m<-1\quad \quad (2)\ \,m<1\quad \quad (3)\,-1<m<1\quad (4)\ -2<m<-1$

10) (سال77) جواب کلی معادله ی مثلثاتی زیر کدام است:

$\sin (3x)+\sin (x)=4\sin (x)\cos (x)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{2}\quad \quad (2)\ \,\frac{k\pi }{4}\quad \quad (3)\ k\,\pi \pm \frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\ (2k+1)\frac{\pi }{4}$

11) (سال 77) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\sin \left( \frac{3}{4}Arc\cot (\frac{-\sqrt{3}}{3}) \right)+\cos \left( 2Arc\tan (\sqrt{3}) \right)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-1}{2}\quad \quad (2)\ \,\frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{4}\quad \quad (4)\ \frac{3}{2}$

12) (سال 78) خلاصه شده ی عبارت زیر کدام است؟

$\tan (20^{\circ })\left( 1+\cos (40^{\circ }) \right)$

گزینه ها:

$(1)\ \sin (20^{\circ })\quad \quad (2)\ \,\sin (40^{\circ })\quad \quad (3)\,\,\cos (20^{\circ })\quad \quad (4)\ \cos (40^{\circ })$

13) (سال 78)حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\cos (40^{\circ })\left( 2\cos (80^{\circ })-1 \right)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{-1}{2}\quad \quad (2)\ -\sin (20^{\circ })\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{2}\quad \quad (4)\ \sin (40^{\circ })$

14)(سال 78) حاصل عبارت زیر برابر کدام است؟

$\frac{\sin (x)\cos (3x)}{\sin (2x)}-\cos (2x)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{2}\quad \quad (2)\ \cos (x)\quad \quad (3)\,\,\sin (x)\quad \quad (4)\ \frac{-1}{2}$

15) (سال 79) حاصل عبارت زیر به ازای x=7.5 درجه، برابر کدام است؟

$\sin (x)\cos (x)(1-2\sin ^{2}(x))$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{1}{4}\quad \quad (2)\ \frac{1}{8}\quad \quad (3)\,\,\frac{3}{8}\quad \quad (4)\ \frac{3}{16}$

16) (سال 79) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\left( \sin (\frac{\pi }{8})-\cos (\frac{\pi }{8}) \right)^{2}-\left( \sin (\frac{\pi }{8})+\cos (\frac{\pi }{8}) \right)^{2}$

گزینه ها:

$(1)\ -\sqrt{2}\quad \quad (2)\ \sqrt{2}\quad \quad (3)\,\,2\quad \quad (4)\ -2$

17) (سال 79) جواب کلی معادله ی زیر کدام است؟

$\sin (3x)+\sin (x)=0$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{2}\quad \quad (2)\ \,k\pi \quad \quad (3)\ k\,\pi +\frac{\pi }{2}\quad \quad (4)\ 2k\pi +\frac{\pi }{2}$

18) (سال 80) اگر داشته باشیم tan2x+cot2x=4، آن گاه حاصل sin4x چه قدر است؟

گزینه ها:

$(1)\ 2\quad \quad (2)\ \frac{1}{2}\quad \quad (3)\,\,-2\quad \quad (4)\ -\frac{1}{2}$

19) (سال 80) حاصل tana+tanb چیست، به شرطی که داشته باشیم:

$a+b=\frac{\pi }{2}-a$

گزینه ها:

$(1)\ \sin (b)\quad \quad (2)\ \,\cos (a)\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{\sin (a)}\quad \quad (4)\ \frac{1}{\cos (b)}$

20) (سال 80) مجموع جوابهای معادله ی زیر در فاصله ی مشخص شده کدام است؟

$2\sin ^{2}(x)-\cos (x)-1=0\quad (\pi \le x\le 2\pi )$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{8\pi }{3}\quad \quad (2)\ \,\frac{10\pi }{3}\quad \quad (3)\ 3\pi \quad \quad (4)\ \frac{11\pi }{3}$

21) (سال 81) ساده شده ی عبارت زیر کدام است؟

$2\cos (\frac{\pi }{4}+\alpha )\sin (\frac{\pi }{4}-\alpha )$

گزینه ها:

$(1)\ \cos (\alpha )-\sin (\alpha )\quad \quad (2)\ \,\cos (2\alpha )\quad \quad (3)\,\,1+\sin (2\alpha )\quad \quad (4)\ 1-\sin (2\alpha )$

22) (سال 81) جواب کلی معادله ی زیر کدام است؟

$\sin (4x)-\sin (2x)=\sin (\frac{\pi }{2}+3x)$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{6}\quad \quad (2)\ \,\frac{k\pi }{3}\quad \quad (3)\ \frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{3}\quad \quad (4)\ \frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$

23) (سال 82) حاصل عبارت زیر کدام است؟

$\cos (165^{\circ })\cos (105^{\circ })$

گزینه ها:

$(1)\ -\frac{1}{2}\quad \quad (2)\ \frac{-1}{4}\quad \quad (3)\,\,\frac{1}{4}\quad \quad (4)\ \frac{1}{2}$

24) (سال 82) جواب کلی معادله ی مثلثاتی زیر به کدام صورت است؟

$\frac{\sin (3x)+\sin (x)}{\sin (x)}=1$

گزینه ها:

$(1)\ \frac{k\pi }{3}\quad \quad (2)\ \,k\pi +\frac{\pi }{3}\quad \quad (3)\ k\pi \pm \frac{\pi }{3}\quad \quad (4)\ 2k\pi \pm \frac{\pi }{3}$

25) (سال 83) اگر مجموع زوایای a و b برابر با 45 درجه باشد، حاصل عبارت زیر کدام است؟

$8\cos (a)\cos (b)\cos (90^{\circ }-a)\cos (90^{\circ }-b)$

گزینه ها:

$(1)\ \sin (4a)\quad \quad (2)\ \,\cos (4a)\quad \quad (3)\,\,\sin ^{2}(2a)\quad \quad (4)\ \cos ^{2}(2a)$

26) (سال 83) جوابهای کلی معادله ی مثلثاتی cos2x=sinx به صورت زیر بیان شده است؛ مجموعه ی مقادیر i کدام است:

$x=2k\pi +\frac{i\pi }{6}$

گزینه ها:

$(1)\ \{7,9\}\quad \quad (2)\ \{1,3,5\}\quad \quad (3)\,\,\{1,4,7\}\quad \quad (4)\ \{1,5,9\}$

27) (سال 74) عبارت زیر با کدام عبارت برابر است؟

$\sin (3x)-2\sin (4x)+\sin (5x)$

گزینه ها:

$\begin{align}& (1)\ 2\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2})\quad \quad (2)\ \,-2\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2}) \\& (3)\,\,4\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2})\quad \quad (4)\ -4\sin (4x)\sin ^{2}(\frac{x}{2}) \\ \end{align}$