درس ریاضی - سایت درسی

سایت درسی

به نام او که عالم را بر اساس « حساب » و « هندسه » آفرید . آری به نام او که همه چیز دنیا را بر اساس حساب استوار کرد و بر پایه هندسه نظم بخشید .

دوست خوبم سلام !

امیداورم روزهای زندگی ات سرشار از تلاشهای مثبت و منطبق بر خط راست در جهت رسیدن به خدای یگانه باشد .

بدان که« امید » را باید به منزله مرکزی دانست که کلیه امور بشری مانند دایره پیرامون آن می چرخد و« عمل » همان تلاش های مثبت اوست که او را به مقصد می رساند .

ادامه مطلب...

درس ریاضی

نوشته شده در روز پنج شنبه 89/7/1 ، تعداد

قران و شگفتیهای عدد19

فرا رسیدن شب پر فیض و منزلت قدر که مقارن با شهادت قرآن ناطق حضرت علی (ع) است بر همه مسلمین بخصوص شیعیان عزیز تسلیت باد.

قرآن کریم معجزه رسول خدا در زمین است که پر است از رمز و راز نمونه ای از آن را در زیر مشاهده می کنید

قران و شگفتیهای عدد19

1)بسم الله الرحمن الرحیم از 19 حرف تشکیل شده که عبارنتد از

ب – س – م- ا – ل –ل –ه – ا- ل- ر- ح – م – ن – ا – ل – ر –ح – ی – م

2)قران 114 سوره دارد (19×6)

3) اولین سوره که نازل شد (سوره العلق ) حاوی 19 کلمه می باشد

اقرا – باسم – ربک – الذی – خلق

خلق – الانسان – من – علق

اقرا – و (حرف می باشد حساب نمی شود) –ربک – الاکرم

الذی- علم -بالقلم

علم – الانسان – ما – لم یعلم

4)اولین سوره که نازل شد حاوی 285 کلمه می باشد (19×15 )

5)سوره نصر اخرین سوره ای که نازل شد 19 کلمه دارد

اذا – جا – نصر – الله – والفتح

ورایت – الناس – یدخلون – فی – دین – الله – افواجا

فسبح – بحمد – ربک – واستغفره

انه – کان – افواجا

6) اذا جا نصرالله والفتح شامل 19 حرف است

7)در قران 114 بسم الله الرحمن الرحیم داریم (19×6)

8)2 سوره از قران شامل 2 بسم الله هستند که سوره های نمل و توبه می باشند که فاصله ترتیبی بین این دو سوره 19 می باشد

با توجه به تصویر اگر شماره سوره های بین این دو سوره را باهم جمع کنیم می شود 19 × 18

9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26+27

9)اگر کلمه وا حد که در قران امده به ابجد حساب کنیم 19 می شود

و + ا + ح + د

6 + 1 + 8 + 4

10)ابجد کلمه وحده که در سوره های زیادی امده مثل زمر ایه 45 عدد 361 می شود (19×19)

11)شماره ایه میان اولین کلمه (الف و لام و میم سوره بقره ایه یک )و ا خرین حرف الفبا (نون سوره قلم) هست 5263 (19×272)

12)جمع کلمه الله د تمام ایه ها مضربی ازعدد 19 می باشدو133 می باشد (19×7)

13)کلمه رحمن 57 بار در قران امده است (19×3)

14) جمع شماره سوره ایه هایی که کلمه صلاه در انها آمده را با هم جمع کنیم می شود 4674 که برابر است با 19×246

15)جمع شماره سوره و ایه هایی که کلمه روزه در آنها امده را با هم جمع می کنیم می شود 1387 که برابر است با 19×73

16)جمع شماره سوره و آیه هایی که کلمات زکات و حج در آنها آمده می شود 3040 که برابر است با 19 ×160

17)30 اعداد مختلفی در قران امده اند (بدون تکرار)که جمع انها 162146 می شود (19×8534)

1

7

19

70

1.000

2

8

20

80

2.000

3

9

30

90

3.000

4

10

40

100

5.000

5

11

50

200

50.000

6

12

60

300

100.000

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 19 +20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 99 + 100 + 200 + 300 + 1,000 + 2,000 + 3,000 + 5,000 + 50,000 + 100,000 = 162,146 (19 x 8,534).

18)سوره انفطار 19 ایه دارد

19)پنجاهمین سوره قران با حرف ق شروع می شود وشامل 57 حرف قاف می باشد (19×3) . همچنین 57 حرف ق نیز در چهل و دومینسوره قران می باشد. 1نجاهمین سوره 45 ایه دارد که اگر با 50 جمع شود 95 می شود (19×5)و 53 ایه چهل و دومین سوره دارد که جمع ان با 42 می شود 95 (19×5)

20)ابجد کلمه مجید در اولین ایه از سوره ق 57 می شود (19×5)

21)وقتی که عدد تعداد و حروف ق را باهم جمع کنیم به 798 می رسیم (19×42)

22) حرف ن تکرار شده در ابتدای شصت و هشتمین سوره قران . که اگر تعداد دفعات تکرار ان را جمع کنیم 133 می شود (19×7)

23)وقتی که عدد ایه (با بسم الله ) از سوره ها را باهم جمع کنیم مضربی از 19 می شود

شماره سوره

شماره ایه

19x1

19th Sura

99

19x2

38th Sura

89

19x3

57th Sura

30

19x4

76th Sura

32

19x5

95th Sura

9

19x6

114th Sura

7

TOTAL

=266 (19x4)

24)حرف سین 48 بار و حرف ی 237 بار در سوره یاسین تکرار شده که جمع انه 285 می شود (19×15)

25)در هفتمین سوره قران که با المص شروع می شود حرف الف 2529 بار و ل 1530 بار و م 1164 بار و ص 97 بار تکرار شده که جمع انه می شود (19×280)

26)حرفهای (الف و ل و م ) باهم در 6 سوره تکرار شده ان که ابارنتد از سوره های 2و3و29و30و31و32

تعدا تکرا انه در این سه سوره مضربی از 19 می باشد

9,899 (19 x 521), 5,662 (19 x 298), 1,672 (19 x 88), 1,254 (19 x 66) and 817 (19 x 43).

که جمع تکرار انها در این سه سوره 19874 (19×1046)

27)جمع تعداد تکرار حروف (ل و الف و ر) در سوره های 10 و 11 و12 و14 و 15 که با این حروف شروع می شوند مضربی از 19 می باشد

2,489 (19 x 131), 2,489 (19 x 131), 2,375 (19 x 125), 1,197 (19 x 63) and 912 (19 x 48).

28)در سوره مریم که با (کهیعص) شروع می شود حرف ق (137) بار حرف ه (175) بار حرف ی (343) بار حرف ع (117) بار و حرف ص (26) بار تکرار شده که جمع انها 798 می شود (19×42)

29)تکرار حرف ص در سوره های قرآن

و....

درس ریاضی، درس قرآن

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

طرز صحیح تعریف وبیان توان

با سلام خدمت دوستان وهمکاران عزیز

یکی از مسائلی که به اشتباه در درس توان دوره راهنمایی تدریس می شود شیوه ی خواندن توان است مثلا 2به توان 3را اینطور بیان می کنیم یعنی 2باید3بار در خودش ضرب شود در صورتی که این نوع بیان اشتباه است و در واقع ما 2به توان چهار را تعریف کرده ایم زیرا وقتی فرمول مساحت مربع را بیان می کنیم می گوییم اندازه یک ضلع ضرب در خودش وبرای توان وقتی بگوییم 2باید 3بار در خودش ضرب شود یعنی 2باد3بار درهم ویک بار در خودش ضرب شودوصحیح آن است که بگوییم 2باید 3بار درهم ضرب شود

درس ریاضی

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

اعمال روی توابع (جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید)

فهرست مطالب آموزش حسابان

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند، اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: اعمال روی توابع

(جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

تعاریف اصلی:

همانند اعداد، می توان دو تابع حقیقی را با هم جمع، از هم کم، در هم ضرب و بر هم تقسیم کرد و باز هم یک تابع حقیقی به دست آورد. بسیاری از توابع پیشرفته، به همین صورت به دست می آیند. دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{cases} f:D_f\to \mathbb{R} & \\ y=f(x) \end{cases} \,\,\,\begin{cases} g:D_g\to \mathbb{R} & \\ y=g(x) \end{cases}$

تعریف جمع و تفاضل و ضرب دو تابع f و g:

$\begin{cases} f+g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{cases} \begin{cases} f-g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \end{cases}$

$\begin{cases} fg:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (fg)(x)=f(x)g(x) \end{cases}$ ؛

بنابراین

$D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی های بالا را توضیح دهید.

تعریف تقسیم دو تابع حقیقی:

$\begin{cases} \frac{f}{g}:D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}\to \mathbb{R} & \\ \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{cases}$ ؛

بنابر این

$D_\frac{f}{g}=D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی بالا را توضیح دهید.

چند مثال:

  اگر $f(x)=\frac{1}{x-1}$ و $g(x)=x^2-1$ ، آن گاه دامنه و ضابطه های توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ و $\frac{f}{g}$ را به دست آورید.

حل مساله:

چون $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$ و $D_g=\mathbb{R}$ ، بنابر این

                        $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}-\{1\}$

و

                         $D_\frac{f}{g}=(\mathbb{R}-\{1\})-\{1,-1\}=\mathbb{R}-\{1,-1\}$
و
$\begin{align*} (f+g)(x) &= f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}+x^2-1\\ (f-g)(x) &= f(x)-g(x)=\frac{1}{x-1}-x^2+1\\ (fg)(x) &= f(x)g(x)=\frac{1}{x-1}(x^2-1)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\,\,(x\neq 1)\\ \frac{f}{g}(x)&= \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{x-1}}{x^2-1}=\frac{1}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)^2} \end{align*}$
فرض کنید

$f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},\,\,g(x)=\sqrt{x^2-1}$

بنابر این $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\{-1\}$ ؛ یعنی توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ فقط می توانند روی عدد 1- اثر کنند؛ نیز می توان دید که

$D_\frac{f}{g}=\varnothing$ ؛
یعنی تابع $\frac{f}{g}$ ، تابع حقیقی بی معنایی است.

درس ریاضی

نوشته شده در روز یکشنبه 88/7/5 ، تعداد

تساوی دو تابع

صفحه اصلی وبلاگ (آدرس جدید http://www.ep-math.coo.ir/)

فهرست مطالب آموزش حسابان

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: تساوی دو تابع

نکات اصلی:

به استدلال زیر دقت کنید:

                               $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)}=\frac{\not{(x-1)}(x+1)}{\not{(x-1)}}=x+1$

آیا این استدلال درست است؟!

سوال:
آیا می توان به دلخواه، هر عدد یا هر عبارتی را از طرفین یک معادله یا از صورت و مخرج یک کسر ساده کرد؟! اگر جواب شما آری است، به دو استدلال زیر توجه کنید:

                 $1\times 0=2\times 0\Rightarrow 1\times \not{0}=2\times \not{0}\Rightarrow 1=2 \,\,\,\,\,\,!!!$

                 $\frac{1\times 0}{1\times 0}=\frac{2\times 0}{1\times 0}\Rightarrow \frac{1\times \not{0}}{1\times \not{0}}=\frac{2\times \not{0}}{1\times \not{0}}\Rightarrow 1=2 \,\,\,\,\,\,!!!$

یا استدلال دیگر:

                                    $\begin{align*} x &= 1\\ x^2 &= 1^2\\ x^2-x&= 1-x\\ x(x-1) &= -1(x-1)\\ x &= -1 \end{align*}$

و لذا 1=1- !!! (کتاب کار ریاضی 2 جلد اول - وزارت آموزش و پرورش صفحه ی 66)

بنابر این تا مطمئن نشده ایم که $a\neq 0$ نمی توان از $ab=ac$ نتیجه گرفت که $b=c$ یا این که $\frac{ab}{ac}=\frac{b}{c}$ (دقت کنید).

با توجه به نکات بالا، دو تابع $f(x)=x+1$ و $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ با یک دیگر برابر نیستند زیرا عدد 1 در دامنه ی اولی است اما در دامنه ی دومی نیست. بنابر این

       اگر دامنه های دو تابع با هم برابر نباشند، آن دو تابع با هم برابر نیستند.
به استدلال زیر دقت کنید:

برای هر $x$ داریم:

                            $\sqrt{1-sin^2(x)}=\sqrt{cos^2(x)}=cos(x)$

بنابر این

                                     $\begin{align*} \sqrt{1-sin^2(\frac{2\pi}{3})} &= cos(\frac{2\pi}{3})\\ \sqrt{1-sin^2(\frac{\pi}{3})} &= -cos(\frac{\pi}{3})\\ \frac{\sqrt{3}}{2}&= -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$

که تساوی نادرستی است. پس اشکال استدلال بالا چیست؟ با کمی دقت می توان استدلال بالا را به صورت زیر تصحیح کرد:

                          $\sqrt{1-sin^2(x)}=\sqrt{cos^2(x)}=|cos(x)|$

دو تابع $f(x)=\sqrt{1-sin^2(x)}$ و $g(x)=cos(x)$ دارای دامنه های برابر هستند (دامنه ی هر دو $\mathbb{R}$ است، چرا؟) اما برای بعضی از $x$ های دامنه، $f(x)\neq g(x)$ ؛ بنابر این

اگر دو تابع f و g دارای دامنه های برابر باشند اما تساوی ${\color{red} f(x)=g(x)}$ برای هر ${\color{red} x}$ برقرار نباشد، آن گاه دو تابع برابر نیستند.
با توجه به نکات 1 و 2 می توان مطلب زیر را ثابت کرد:

دو تابع و وقتی و فقط وقتی با هم برابرند که

- اولاً $D_{f}=D_{g}$ (تساوی دامنه ای)

- ثانیاً برای هر از دامنه، $f(x)=g(x)$ (تساوی نقطه به نقطه)

چند مثال:

دوتابع زیر برابر نیستند، چرا؟

$f(x)=\sqrt{x^2-1},\,\,\,\,g(x)=\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}$

(دامنه ها را مقایسه کنید.)
دو تابع زیر برابرند، چرا؟

$f(x)=\sqrt{x^2},\,\,\,\,g(x)=|x|$
دوتابع زیر برابر نیستند، چرا؟

$f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}},\,\,\,\,g(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}$
دو تابع زیر برابرند، چرا؟

$f(k)=cos(k\pi),\,\,g(k)=(-1)^{k}\,\,\,\,\,(k\in \mathbb{Z})$
دوتابع زیر برابر نیستند، چرا؟

$f(x)=\frac{x+1}{\frac{1}{x}},\,\,g(x)=x(x+1)$
دوتابع زیر برابرند، چرا؟ (دقت کنید که در این مثال، $x \in \mathbb{R}$ .)

$f(x)=[x]+[-x],\,\,\,\,g(x)=\begin{cases} 0& \text{ } x\in \mathbb{Z} \\ -1& \text{ } x\notin \mathbb{Z} \end{cases}$

حل چند مساله از مسائل کتاب:

تمرین 10 صفحه ی 24:

اگر $f(x)=x-4$ و $g(x)=\begin{cases} \frac{x^2-16}{x+4} & \text{ } x\neq -4 \\ k& \text{ } x= -4 \end{cases}$ ، $k$ را طوری تعیین کنید که به ازای هر $x$ ، $f(x)=g(x)$ .