فرمولی که ارتباط ساده میان رؤوس، وجه ها ، لبه ها را بیان می کند بطور مستقل توسط اویلر و دکارت کشف شد . این فرمول همچنین به نام فرمول اویلر- دکارت هم معروف است. این فرمول همچنین تعدادی از چند سطحی غیر محدب و نه همه آنها را در بر می گیرد.

فرمول چند سطحی بیان می کند:

V + F – E =2

 که در آن V=N0 تعداد رؤوس چند وجهی ، E=N1 تعداد لبه ها و F=N3 تعداد وجه ها است.

قرمئل بالا برای چند سطعی های N  بعدی توسطSchl?fli به صورت زیر تعمیم داده شد:

?₁ : N0=2

?₂ : N0– N2=0

?₃ :N0 – N2 + N 4 =2

?₄ : N0 – N2 + N 3 – N4 =0

?_N : N0 – N2 + N 3…(-1)^N-1N_N-1=1-(-1)^N

 و بویسیله Poincaré اثبات شد.

تاریخچه

پس از اهرام مصر مشهور ترین مجموعه چند وجهی ها در زمان باستان مجموعه اجسام منتظم است به نظر می رسد تا ئتتو س ریاضی دان یونانی اولین کسی است که با آنها ریاضی گونه برخورد کرده افلاطون دوست تائتتوس چند وجهی های منتظم را با کیهان شناسی های خود در آمیخت تیمائوس در گفت گوی خود روی چهار عنصر –که همه چیز از آنها تشکیل شده است بحث می کند. اجزای زمین به شکل مکعب هستند و به حالتی استوار روی قاعده شان قرار دارند. اجزای هوا که هشت وجهی های منتظم هستند سبک هستند و اگر روی رئوس مخالف نگاه داشته شوند به آزادی می چرخند اجزای آتش چهار وجهی های منتظم هستند و گوشه های تیزی دارند. اجزای آب به شکل بیست وجهی های منتظم و کروی هستند و ماننند مایعات می توانند بغلتند سیصد سال ق.م زمانی که اقلیدس مقاله های خود را می نوشت یونانیها درباره هندسه فضایی نظریاتی کاملا شکوفا داشتند در کتاب "یازده مقاله" اقلیدس روی ویژگی های طولی چند وجهی ها بحث می کند او در کتاب سیزدهم نشان داد که چگونه می توان یک چهار وجهی منتظم ساخت و اثبات کرد که فقط پنج تا از آنها وجود دارد . هرون اولین کسی بود که به چهار وجهی منتظم به عنوان اجسام افلاطونی اشاره کرد پاپوس از مطالعات ارشمیدس که در حال حاضر مفقود شده است – روی چند وجهی های غیر منتظم –که اجسام ارشمیدسی نیز نامیده می شوند گزارش می دهد.

 در دوره رنسانس زمانی که نوشته های کلاسیک روم و یونان باستان با پشت سر گذاشتن سالهای تاریک اروپا در دسترس قرار گرفت خداشناسان و فلاسفه و هنرمندان و دانشمندان کارهای افلاطون و اقلیدس را مورد مطالعه قرار دادند واین مطالعه ها علاقه آنها را نسبت به چند وجهی ها بر انگیخت.

یوهانس کپلر با نسبت دادن دوازده وجهی به کل جهان – شاید چون دوازده وجه آن با  دوازده  نشان دایرةالبروج   متناظر بود –به کیهان شناسی افلاطون مطالبی را افزود به این تریتب هرچند وجهی منتظم با یکی از جنبه های دنیا متناظر می شد کپلراز این فراتر رفت و چند وجهی های منتظم را به دستگاه کپرنیک و سیارات در حال حرکت در مدار خورشید وارد ساخت و از آنها برای توضح وجود شش سیاره (عطارد، زهره، زمین، مریخ، مشتری، زحل) و فاصله خاص این سیارات از مرکز خورشید استفاده کرد . کپلر جوان به این نظریه که، پنج فاصله ی  بین شش سیاره ، با پنج جسم منتظم متناظر است، تمایل پیدا کرد و به کمک آن دو معما را در یک زمان توضیح داد: چرا دقیقا پنج وجهی منتظم و چرا دقیقا شش سیاره وجود دارند ؟

او پس از تلاش بسیار برای مرتب کردن چند وجهی های منتظم جهت تطبیق با این نظریه و داده های دانسته شده به طرح زیر دست یافت زحل در کره خارجی حرکت می کند که شامل یک مکعب است و یک کره در آن قرار گرفته است که مشتری روی آن حرکت می کند و خود شامل یک چهار وجهی منتظم است که کره مریخ درآان قرار دارد . به همین ترتیب کره مریخ شامل یک دوازده وجهی منتظم است پس کره زمین شامل یک بیست وجهی کره زهره شامل یک هشت وجهی و در نهایت کره عطارد است .کپلر از کشف خود چنان به وجدآامده بود که از حامی خود دوک وورتنبرگ خواست که مدلی طلاعی از چند وجهی های تو در تو و کره ها برای نشان دادن طرح او به دنیا و توضیح جهان مرموز ساخته شود . برخی از تجربیات کپلر درباره چند وجهی ها تا حدوی روشن بود او از مطالعات ارشمیدس از طریق پاپوس در زمینه چند وجهی های نیمه منتظم آگاه بود و با شرحی دقیق و استدلالی مورد به مورد، برای تکمیل فهرست خود، صورت کاملی از این اجسام را تهیه کر د.

طی این دوره چند وجهی ها توجه بسیاری از دانش پژو هان هنرمندان و صنعت گران را به خود جلب کردند از جمله آلبرشک دورر که تصور الگوی خیاط را برای یک چند وجهی طرح کرده بود ولئو نارد و داوینچی که کتاب لو کا پالیولی را در زمینه چند وجهی وجهی های منتظم و نیمه منتظم مصور نمود . دکارت نیز چند وجهی ها را مورد مطالعه قرار داد و فرضیه ای را ثابت کرد که نتیجه سریع ان فرمول اویلر است . او این فرمول مشهور را اولین بار در نامه ای خطاب به کریستین گلد باخ نقل کرد.

ا ین پایان داستان چند وجهی ها نیست ریاضیدانان هنوز آنها را مطالعه می کنند  . و دانش مندان برای توصیف اشکال مولکول ها بلورها و ترکیبات موجودات زنده به استفاده از آنها ادامه میدهند .

مدل سازی

دوازده وجهی         بیست وجهی          هشت وجهی مکعبی        بیست وجهی ناقص                

هشت وجهی ناقص                هشت وجهی لوزوی مکعبی