اعمال روی توابع (جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

سایت درسی

فهرست مطالب آموزش حسابان

توجه: اگر فرمولها و تصاویر این درس دیده نمی شوند، اینجا را کلیک کنید، متشکرم.

موضوع: اعمال روی توابع

(جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

توضیح:

در میان نکات زیر، گاهی از شما خواسته می شود فعالیتی را انجام دهید، مطلبی را تعریف کنید یا به سوالی جواب دهید. سعی کنید جواب را در متن کتاب بیابید. اگر در متن کتاب جواب سوال صراحتاً بیان نشده بود، سعی کنید خودتان به سوال مطرح شده پاسخ دهید و اگر نتوانستید از معلمتان بپرسید.

تعاریف اصلی:

همانند اعداد، می توان دو تابع حقیقی را با هم جمع، از هم کم، در هم ضرب و بر هم تقسیم کرد و باز هم یک تابع حقیقی به دست آورد. بسیاری از توابع پیشرفته، به همین صورت به دست می آیند. دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{cases} f:D_f\to \mathbb{R} & \\ y=f(x) \end{cases} \,\,\,\begin{cases} g:D_g\to \mathbb{R} & \\ y=g(x) \end{cases}$

تعریف جمع و تفاضل و ضرب دو تابع f و g:

$\begin{cases} f+g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{cases} \begin{cases} f-g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \end{cases}$

$\begin{cases} fg:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (fg)(x)=f(x)g(x) \end{cases}$ ؛

بنابراین

$D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی های بالا را توضیح دهید.

تعریف تقسیم دو تابع حقیقی:

$\begin{cases} \frac{f}{g}:D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}\to \mathbb{R} & \\ \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{cases}$ ؛

بنابر این

$D_\frac{f}{g}=D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی بالا را توضیح دهید.

چند مثال:

  اگر $f(x)=\frac{1}{x-1}$ و $g(x)=x^2-1$ ، آن گاه دامنه و ضابطه های توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ و $\frac{f}{g}$ را به دست آورید.

حل مساله:

چون $D_f=\mathbb{R}-\{1\}$ و $D_g=\mathbb{R}$ ، بنابر این

                        $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\mathbb{R}-\{1\}$

و

                         $D_\frac{f}{g}=(\mathbb{R}-\{1\})-\{1,-1\}=\mathbb{R}-\{1,-1\}$
و
$\begin{align*} (f+g)(x) &= f(x)+g(x)=\frac{1}{x-1}+x^2-1\\ (f-g)(x) &= f(x)-g(x)=\frac{1}{x-1}-x^2+1\\ (fg)(x) &= f(x)g(x)=\frac{1}{x-1}(x^2-1)=\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\,\,(x\neq 1)\\ \frac{f}{g}(x)&= \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{x-1}}{x^2-1}=\frac{1}{(x^2-1)(x-1)}=\frac{1}{(x+1)(x-1)^2} \end{align*}$
فرض کنید

$f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}},\,\,g(x)=\sqrt{x^2-1}$

بنابر این $D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g=\{-1\}$ ؛ یعنی توابع $fg,\,f-g,\,f+g$ فقط می توانند روی عدد 1- اثر کنند؛ نیز می توان دید که

$D_\frac{f}{g}=\varnothing$ ؛
یعنی تابع $\frac{f}{g}$ ، تابع حقیقی بی معنایی است.