خوب! فلسفیدن بسه. دلم تنگ شده بود. برای شما، وبلاگ، نظراتتون، ریاضی نوشتن و ... می خوام خیلی سریع برم سر اصل مطلب. فقط دو تا توضیح کوچیک اینکه:

اول: ان شاءالله سری مباحث پایه ای ریاضیات (مبانی ریاضیات) رو با نگاهی ظریفتر(اگر بتونیم)، مهرماه شروع میکنیم. بیشتر بر اساس کتاب نظریه مجموعه ها و کابردهای آن (شو وینگ تی.لین & یو فنگ.لین، مرکز نشر دانشگاهی) پیش میریم که احیانا بچه های سال اول رشته ریاضی در دانشگاه ها (که الان خودشون نمی دونن) بتونن ازش استفاده کنن. پیشنهاد میکنم در آغاز سال این بچه ها رو در جریان کار بذارید. البته من خیلی وارد جزئیات نمیشم اما سعی می کنم برای همه مفید باشه.

دوم: تعدادی از دوستان سراغ مشروح بحرانهای ریاضی رو میگیرند. چشم. در  پستهای بعدی به اون میپردازیم. الان برای اینکه ازین حالت یکنواختی دربیام یه مقاله کوچولو موچولو راجع به " تکنیکهای اثبات احکام" بخونید.

**********************************************************

چندکلامی درباره روشهای عمومی اثبات
ترجمه آزاد مقاله Remarks About Methods of Proof

قصد ما مطرح کردن چند روش ساده و عمومی اثبات است که ممکن است شما بارها از هر کدام استفاده کرده باشید. برای راحتی کار در مثال ها دو تعریف زیر را می آوریم.

تعریف 1: عدد n را زوج گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k که k عددی صحیح است، نوشت.
تعریف 2: عدد n را فرد گوییم اگر بتوان آنرا به صورت n=2k+1 که k عددی صحیح است، نوشت.

1. اثبات مستقیم (DIRECT PROOF) :
با فرض های قضیه آغاز می شود و با استنتاج، از آن نتایجی حاصل می شود، بیرون آوردن نتیاج ادامه می یابد تا اینکه به حکم مطلوب برسیم.

قضیه1: اگر n زوج باشد آگاه n² زوج است.
اثبات: n  زوج است (فرض) بنابراین عدد صحیحی چون k وجود دارد که n=2k. بنابراین:

n² = (2k)² = 2 (2k²)

و می دانیم 2k² نیز عددی صحیح است بنابراین طبق تعریف1 n²  عددی زوج است.

2. اثبات عکس ِ نقیض قضیه به جای خود قضیه. (PROVING THE CONTRAPOSITIVE)
در این روش اثبات، ما می خواهیم نشان دهیم که « اگر "A" آنگاه "B" ». به جای آن ما یک قانون معادل آن را نشان می دهیم: « اگر "B نقض شود" ( Not B)، آنگاه "A نقض میشود" (Not A) ».

قضیه 2: اگر n² زوج باشد، آنگاه n زوج است.
اثبات: در این مورد "n² زوج است" "گزاره A و  "n زوج است" گزاره B می باشد. نشان می دهیم اگر n فرد باشد (نقیض B) آنگاه n² فرد است (نقیض A). به این ترتیب که: می دانیم که عدد صحیحی چون K هست که n=2k+1. بنابراین:

n² = (2k+1)² = 4k²+2k+1 = 2(2k²+k)+1.

چون k صحیح است پس 2k²+k نیز صحیح است. پس ما نشان دادیم که n² فرد است.

ـــ خوب بقیه اش باشه واسه پست بعدی. خیلی الکی بود ها؟!!!. مثالا چی؟ آبکی بود؟!! سه روش دیگه هست.

خدایا به من زیستنی عطا کن که در لحظه مرگ بر بی ثمری لحظه ای که برای زیستن گذشته است حسرت نخورم و مردنی عطا کن که بر بیهودگیش سوگوار نباشم. بگذار تا آن را من خود انتخاب کنم اما آنچنان که تو دوست داری.                                               -:: دکتر علی شریعتی ::-