سلام.
قبل از هر چیز بگم که بخش "خبرنامه" رو راه انداختیم که اگه دوست داشتید عضو بشید. وقتی عضو بشیدو از آپدیت شدن وبلاگ خیلی زود مطلع میشید. و ضمنا اگه مقاله خوبی یا لینک خوبی هم داشتیم براتون میفرستیم. فقط ظاهرا یه نقصی داره خبرنامه وبگذر و اون اینکه ایمیل نقطه دار نوفهمه.

خوب. تو بحث قبل اشاره کردیم که در نظر نگرفتن مرحله 1 (مورد پایه) در هنگام به کار بردن روش استقراء ریاضی چه عواقب جبران ناپذیر مالی و جانی در پی خواهد داشت. درسته؟ (میگه آره! کی چنین چیزی گفتیم!!) حالا مثالهای در مورد اهمیت این مرحله:

قضیه6 (اشتباه): به ازای هر عدد صحیح n>=0 ، داریم: n=n+5. (!!)
اثبات: "اثبات به استقرا": بیاید مرحله 1 رو در نظر نگیریم. مرحله 2:
فرض می کنیم که حکم برای یک n ی درست باشد. یعنی n=n+5.(فرض استقرائی) ما باید نشان دهیم که برای n+1 نیز درست است. یعنی n+1) = (n+1) + 5). نشان دادن این بسیار ساده است. کافیست به دو طرف تساوی فرض استقرا عدد 1 را اضافه کنیم.

مشکل برهان ارائه شده اینه که ما درست بودن حکم رو برای مورد پایه (در اینجا صفر) چک نکردیم که در این مورد مسلما درست نیست.

قضیه 7 (اشتباه): در هر مجموعه n تایی از دانش آموزان، همه دانش آموزان هم قد هستند.(!!)
اثبات: "اثبات با استقراء بر روی تعداد دانش آموزان":
 این بار ما با مورد پایه شروع می کنیم: در هر مجموعه 1 عضوی، حکم (اینکه همه دانش آموزان مجموعه هم قد هستند) به وضوح درست است، چون فقط یک نفر در مجموعه هست.
بنابراین اجازه بدهید که به مرحله 2 برویم: فرض میکنیم که حکم برای مجموعه k عضوی درست باشد. (فرض استقرائی). حالا مجموعه S رو با k+1 عضو در نظر بگیرید. بنابراین می تونیم بنویسیم:
     { S = S" U { p_k+1       که در آن    { S" = { p₁ , ... , p_k      مجموعه ایست با k عضو و p_i یعنی : "دانش آموز شماره i". بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان مجموعه "S هم قد هستند (چون k عضو دارد). یعنی p₁ با p₂ هم قد است. اما از طرفی می توانیم بنویسیم:       ""S = { p₁} U S     که  در آن     {S"" = { p₂ , ... , p_k+1     مجموعه ای k عضوی است. و باز بنابر فرض استقراء همه دانش آموزان "S  نیز هم قد هستند و در نتیجه: p_k+1 با p₂ هم قد است که خود p₂ با p₁ هم قد است. بنابراین p_k+1 و p₁ نیز با یکدیگر هم قد هستند. بنابراین همه k+1 دانش آموز مجموعه S هم قدند و حکم به استقراء ثابت شد.
شما بگین توی این برهان چه چیزی اشتباهه؟

فکر کنم اهمیت مورد پایه در عین ساده بودن روشن شد. در انتها دو اشتباه در آوردن برهان ( که البته بیشتر در مورد مبتدیان اتفاق می افته) رو ذکر کنیم که کار ناقص نباشه. البته مورد دوم رو بیشتر ما در قضاوت های روزمره مون استفاده مینکیم که البته مسائل ریاضی نیستند.:

1. اثبات با مثال: اما اینکه یه حکم برای تعدادی مثال درست باشه لزومی بر درست بودنش نیست. همونطور که قبلا اشاره کردیم ممکنه یک حکم برای بینهایت مورد درست باشه ولی در حالت کلی درست نباشه. مثلا اینکه همه اعداد اول فردند. این حکم برای بینهایت عدد اول درسته و تنها برای 2 درست نیست. ولی با این حال به شکل گفته شد یک حکم کلی نیست.
2. اثبات بر این اساس که مثال نقض وجود ندارد: اینکه برای یک حکم مثال نقضی "پیدا نکنیم" دلیل بر درستی حکم نمیشه. شاید واقعا وجود داره اما در دسترس ما نیست. همچنان با عدم یافتن مثالی نقضی برای حدس باخ، تبدیل به قضیه شدنش به یافتن اثباتی برای آن موکول شده.
البته اگر بتوانیم ثابت کنیم که هیچ مثال نقضی برای حکم "وجود نداره" یعنی حکم درسته. (که همون برهان خلفه).

خوب دیگه خسته نباشید. پرونده این داستان بسته شد. به نظر خود من این بحث به درد یک نوآموز ... تا دانشجوی ریاضی محض می خوره. نظر شما چیه؟

واما...!!. یه چند روز می خوام به کامپیوترم مرخصی استعلاجی بدم. بیچاره روزگار سختی رو سپری می کنه:
مادر برد: در شرف انفجار... خازن هاش باد کرده. عملیات بایوس به سختی انجام میشه. (همین الان که دارم می نویسم یه بوق عجیبی زد. فکر کنم خوشحال شد که میخواد بره دواخونه)
پاور: چیزی نی... فنش شکسته، می تونه با خورشید رقابت کنه!
فن سی پی یو: در حال حاضر تلفیقی از سه فن. حرکتش منو یاد چرخ پیکانای تهران الف میاندازه؟
هارد: تا خرخره پره. دو قسمت داره: یه قسمت پر نرم افزارای نصب نشده، قسمت دوم نصب شده نرم افزارای قسمت اول.
خوب می خوام به دادشون برسم. به نظر شما چند روز طول میکشه؟ مسئله اصلی مادربردشه که شاید تعمیرش سه، چهار روز طول بکشه.
تا بعد...

سـالـها دل طلب جـام جــم از ما میکـرد         آنــچه خود داشت ز بیگانه تمنا میکرد

گوهری کزصدف کون و مکان بیرون است        طـلب از گـمشـدگـان لـب دریــا میـکرد

                                                                                 -:: حافظ ::-