تابع دلتا یک تابع تعمیم یافته (generalized function) است که می تواند در قالب حد یک دسته از دنباله های دلتا (delta sequences) تعریف شود. تابع دلتا معمولا "تابع دلتای دیراک" یا "نماد ضربه" خوانده می شود (Bracewell 1999).

به طور مرسوم، تابعی خطی از یک فضای (عموماْ به صورت یک فضای شوارتز (Schwartz space) یا فضای همه ی توابع مسطح محمل های فشرده  در نظر گرفته می شود) توابع آزمون  است. کنش دلتا روی  معمولا با  یا " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline8.gif" width=33 border=0> نشان داده می شود که برای هر تابع . مقدار آن را در نقطه ی صفر بدست می دهد. در متون مهندسی، خصیصه ی تابعی تابع دلتا غالباْ نادیده گرفته می شود.

تابع دلتا را می توان به صورت مشتق تابع یکه ی هوی ساید (Heaviside step function) نشان داد:

(Bracewell 1999, p. 94).

تابع دلتا دارای ویژگی بنیادین زیر است:

و، در واقع،

برای 0" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DeltaFunction/Inline11.gif" width=29 border=0>.

اتحادهای دیگر، شامل

برای  و بعلاوه

می شوند.

به طور کلی تر، تابع دلتای تابعی از متغیر   به صورت زیر داده می شود:

که در آن، ها ریشه های  هستند. به عنوان مثال، برای تابع

داریم  که بنابراین  و   بدست می دهند:

تابع اصلی که مشتقات تابع دلتا  مشخص می کند، عبارت است از

با فرض ، در این تعریف، نتیجه می دهد:

که در آن جمله ی دوم به این دلیل از قلم افتاد که  ، در نتیجه روابط بالا تساوی زیر را محقق می سازند:

در کل، رویه ای مشابه آنچه در بالا آمد، ما را به نتیجه ی بهتری می رساند

اما چون هر توان ضربدر   در انتگرالگیری به صفر ختم می شود، لذا تنها جمله ی ثابت در انتگرالگیری شرکت می کند. از اینرو، همه ی جملات ضرب شده در مشتقات صفر می شوند، و  تنها  باقی می ماند که آن هم به معادله ی زیر می انجامد:

که بر رابطه ی زیر دلالت می کند:

ادامه دارد...

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkh?user, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function ." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955.