هندسه نااقلیدسی و نسبیت عام اینشتین در قرن نوزدهم دو ریاضیدان بزرگ به نام «لباچفسکی» و «ریمان» دو نظام هندسی را صورت بندی کردند که هندسه را از سیطره اقلیدس خارج می کرد. صورت بندی «اقلیدس» از هندسه تا قرن نوزدهم پررونق ترین کالای فکری بود و پنداشته می شد که نظام اقلیدس یگانه نظامی است که امکان پذیر است. این نظام بی چون و چرا توصیفی درست از جهان انگاشته می شد. هندسه اقلیدسی مدلی برای ساختار نظریه های علمی بود و نیوتن و دیگر دانشمندان از آن پیروی می کردند. هندسه اقلیدسی بر پنج اصل موضوعه استوار است و قضایای هندسه با توجه به این پنج اصل اثبات می شوند.ای خارج آن خط، یک خط و ت اصل موضوعه پنجم اقلیدس می گوید: «به ازای هر خط و نقطه نها یک خط به موازات آن خط مفروض می تواند از آن نقطه عبور کند.» هندسه «لباچفسکی» و هندسه «ریمانی» این اصل موضوعه پنجم را مورد تردید قرار دادند. در هندسه «ریمانی» ممکن است خط صافی که موازی خط مفروض باشد از نقطه مورد نظر عبور نکند و در هندسه «لباچفسکی» ممکن است بیش از یک خط از آن نقطه عبور کند. با اندکی تسامح می توان گفت این دو هندسه منحنی وار هستند. بدین معنا که کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه یک منحنی است. هندسه اقلیدسی فضایی را مفروض می گیرد که هیچ گونه خمیدگی و انحنا ندارد. اما نظام هندسی لباچفسکی و ریمانی این خمیدگی را مفروض می گیرند. (مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه های نااقلیدسی جمع زوایای مثلث برابر با 180 درجه نیست. (در هندسه اقلیدسی جمع زوایای مثلث برابر با 180 درجه است.) ظهور این هندسه های عجیب و غریب برای ریاضیدانان جالب توجه بود اما اهمیت آنها وقتی روشن شد که نسبیت عام اینشتین توسط بیشتر فیزیکدانان به عنوان جایگزینی برای نظریه نیوتن از مکان، زمان و گرانش پذیرفته شد. چون صورت بندی نسبیت عام اینشتین مبتنی بر هندسه «ریمانی» است. در این نظریه هندسه زمان و مکان به جای آن که صاف باشد منحنی است. نظریه نسبیت خاص اینشتین تمایز آشکاری میان ریاضیات محض و ریاضیات کاربردی است. هندسه محض مطالعه سیستم های ریاضی مختلف است که به وسیله نظام های اصول موضوعه متفاوتی توصیف شده اند. برخی از آنها چندبعدی و یا حتی nبعدی هستند. اما هندسه محض انتزاعی است و هیچ ربطی با جهان مادی ندارد یعنی فقط به روابط مفاهیم ریاضی با همدیگر، بدون ارجاع به تجربه می پردازد. هندسه کاربردی، کاربرد ریاضیات در واقعیت است. هندسه کاربردی به وسیله تجربه فراگرفته می شود و مفاهیم انتزاعی برحسب عناصری تفسیر می شوند که بازتاب جهان تجربه اند. نظریه نسبیت، تفسیری منسجم از مفهوم حرکت، زمان و مکان به ما می دهد. اینشتین برای تبیین حرکت نور از هندسه نااقلیدسی استفاده کرد. بدین منظور هندسه «ریمانی» را برگزید. هندسه اقلیدسی برای دستگاهی مشتمل بر خط های راست در یک صفحه طرح ریزی شده است اما در عالم واقع یک چنین خط های راستی وجود ندارد. اینشتین معتقد بود امور واقع هندسه ریمانی را اقتضا کرده اند. نور بر اثر میدان های گرانشی خمیده شده و به صورت منحنی در می آید یعنی سیر نور مستقیم نیست بلکه به صورت منحنی ها و دایره های عظیمی است که سطح کرات آنها را پدید آورده اند. نور به سبب میدان های گرانشی که بر اثر اجرام آسمانی پدید می آید خط سیری منحنی دارد. براساس نسبیت عام نور در راستای کوتاه ترین خطوط بین نقاط حرکت می کند اما گاهی این خطوط منحنی هستند چون حضور ماده موجب انحنا در مکان - زمان می شود. در نظریه نسبیت عام گرانش یک نیرو نیست بلکه نامی است که ما به اثر انحنای زمان _ مکان بر حرکت اشیا اطلاق می کنیم. آزمون های عملی ثابت کردند که شالوده عالم نااقلیدسی است و شاید نظریه نسبیت عام بهترین راهنمایی باشد که ما با آن می توانیم اشیا را مشاهده کنیم. اما مدافعین هندسه اقلیدسی معتقد بودند که به وسیله آزمایش نمی توان تصمیم گرفت که ساختار هندسی جهان اقلیدسی است یا نااقلیدسی. چون می توان نیروهایی به سیستم مبتنی بر هندسه اقلیدسی اضافه کرد به طوری که شبیه اثرات ساختار نااقلیدسی باشد. نیروهایی که اندازه گیری های ما از طول و زمان را چنان تغییر دهند که پدیده هایی سازگار با زمان - مکان خمیده به وجود آید. این نظریه به «قراردادگرایی» مشهور است که نخستین بار از طرف ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی «هنری پوانکاره» ابراز شد. اما نظریه هایی که بدین طریق به دست می آوریم ممکن است کاملاً جعلی و موقتی باشند. اما دلایل کافی برای رد آنها وجود دارد؟
